Jak vypočítat okamžitou rychlost

Rychlost je definována jako rychlost objektu v daném směru. V mnoha běžných situacích k nalezení rychlosti používáme rovnici v = s/t, kde v je rychlost, s se rovná celkovému posunutí z výchozí polohy objektu a t se rovná uplynulému času. To však technicky dává pouze objektům průměrný rychlost přes jeho dráhu. Pomocí kalkulu je možné vypočítat rychlost objektu v každém okamžiku jeho dráhy. Tomu se říká okamžitá rychlost a je definován rovnicí v = (ds)/(dt) , nebo jinými slovy derivát objektu průměrná rychlost rovnice.

Část 1 ze 3: Výpočet okamžité rychlosti

1 Začněte s rovnicí rychlosti, pokud jde o posunutí. Abychom získali okamžitou rychlost objektu, musíme nejprve mít rovnici, která nám řekne jeho polohu (z hlediska posunutí) v určitém časovém bodě. To znamená, že rovnice musí mít proměnnou s na jedné straně sám a t na druhé straně (ale ne nutně samo o sobě) takto:

s = -1,5 t²+ 10t + 4

banditské rovnátka
- V této rovnici jsou proměnné:
  
  Posun = s . Vzdálenost, kterou objekt urazil ze své výchozí polohy. Pokud například předmět jde o 10 metrů dopředu a 7 metrů dozadu, jeho celkový posun je 10 - 7 = 3 metry (ne 10 + 7 = 17 metrů).
  
  Čas = t . Samovysvětlující. Obvykle se měří v sekundách.
2 Vezměte derivaci rovnice. The derivát rovnice je jen jiná rovnice, která vám řekne její sklon v daném časovém bodě. Chcete -li najít derivaci vzorce pro vytěsnění, rozlište funkci podle tohoto obecného pravidla pro hledání derivátů: Pokud y = a*xⁿDerivát = a*n*x^n-1 .Toto pravidlo platí pro každý výraz na straně 't' rovnice.
- Jinými slovy, začněte procházením strany „t“ vaší rovnice zleva doprava. Pokaždé, když dosáhnete 't', odečtěte 1 od exponentu a vynásobte celý výraz původním exponentem. Jakékoli konstantní termíny (termíny, které neobsahují 't') zmizí, protože jsou vynásobeny 0. Tento proces není ve skutečnosti tak těžký, jak to zní - odvodíme rovnici ve výše uvedeném kroku jako příklad:
  
  s = -1,5 t²+ 10t + 4
  (2) -1,5 t^(2-1)+ (1) 10 t^jedenáct+ (0) 4 p⁰
  -3т¹+ 10t⁰
  -3t + 10
3 Nahradit 's' za 'ds/dt. „Abychom ukázali, že naše nová rovnice je derivací té první, nahradíme„ s “zápisem„ ds/dt “. Technicky tento zápis znamená „derivát s vzhledem k t.“ Jednodušší způsob, jak o tom přemýšlet, je, že ds/dt je pouze sklon libovolného bodu v první rovnici. Chcete -li například najít sklon čáry o s = -1,5 t²+ 10t + 4 při t = 5, připojili bychom pouze '5' k t v jeho derivaci.
- V našem běžícím příkladu by naše hotová rovnice měla nyní vypadat takto:
  
  ds / dt = -3t + 10
4 Chcete -li zjistit okamžitou rychlost, připojte hodnotu t pro novou rovnici. Nyní, když máte derivační rovnici, je nalezení okamžité rychlosti v libovolném časovém okamžiku snadné. Vše, co musíte udělat, je vybrat hodnotu pro t a zapojit ji do své derivační rovnice. Pokud například chceme najít okamžitou rychlost v čase t = 5, nahradíme za t v derivaci ds/dt = -3 + 10 hodnotu „5“. Potom bychom rovnici vyřešili takto:

ds / dt = -3t + 10
ds/dt = -3 (5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 metrů za sekundu
- Všimněte si toho, že používáme štítek „metry/sekundu“ výše. Protože máme co do činění s výtlakem v metrech a časem v sekundách a rychlost obecně je jen posunutí v čase, je toto označení vhodné.
reklama

Část 2 ze 3: Grafický odhad okamžité rychlosti

1 Grafujte posunutí objektu v průběhu času. Ve výše uvedené části jsme zmínili, že deriváty jsou pouze vzorce, které nám umožňují najít sklon v libovolném bodě pro rovnici, pro kterou derivát vezmete. Ve skutečnosti, pokud reprezentujete posunutí objektu čárou na grafu, sklon čáry v kterémkoli daném bodě se rovná okamžité rychlosti objektu v daném bodě.
- Chcete -li vykreslit posunutí objektu, použijte osu x k znázornění času a osu y k zobrazení posunutí. Pak už jen body zápletky připojením hodnot pro t do své posunovací rovnice, získáním hodnot s pro vaše odpovědi a vyznačením bodů t, s (x, y) v grafu.
- Graf se může rozprostírat pod osou x. Pokud čára představující pohyb vašeho objektu klesne pod osu x, představuje to váš objekt pohybující se za místem, kde začal. Obecně se váš graf nebude rozšiřovat za osu y - u objektů pohybujících se v čase v čase často neměříme rychlost!
2 Vyberte jeden bod P a bod Q, který je na přímce blízko něj. Abychom našli sklon čáry v jediném bodě P, použijeme trik nazvaný „vzít limit“. Přijetí limitu zahrnuje převzetí dvou bodů (P, plus Q, bod v jeho blízkosti) na zakřivené čáře a nalezení sklonu čáry, která je spojuje znovu a znovu, jak se vzdálenost mezi P a Q zmenšuje.
- Řekněme, že naše posunovací čára obsahuje body (1,3) a (4,7). V tomto případě, pokud chceme najít sklon na (1,3), můžeme nastavit (1,3) = P a (4,7) = Otázka .
3 Najděte sklon mezi P a Q. Sklon mezi P a Q je rozdílem hodnot y pro P a Q oproti rozdílu hodnot x pro P a Q. Jinými slovy, H = (a_Otázka- a_P) / (X_Otázka- X_P) , kde H je sklon mezi dvěma body. V našem případě je sklon mezi P a Q:

H = (a_Otázka- a_P) / (X_Otázka- X_P)
H = (7-3)/(4-1)
H = (4)/(3) = 1,33
4 Opakujte několikrát a posuňte Q blíže k P. Vaším cílem je vzdálenost mezi P a Q zmenšovat a zmenšovat, dokud se nepřiblíží k jednomu bodu. Čím menší je vzdálenost mezi P a Q, tím blíže bude sklon vašich drobných úseček ke sklonu v bodě P. Udělejme to několikrát pro naši příkladovou rovnici pomocí bodů (2,4,8), (1,5 , 3,95) a (1,25,3,49) pro Q a náš původní bod (1,3) pro P:

Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1,8

Q = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (0,95)/(5) = 1.9

Q = (1,25,3,49): H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (0,49)/(. 25) = 1,96
5 Odhadněte sklon pro nekonečně malý interval na čáře. Jak se Q blíží k P blíže a blíže, H se bude v bodě P stále více přibližovat ke svahu. Nakonec se v nekonečně malém intervalu H bude rovnat sklonu v bodě P. Protože nejsme schopni nekonečně měřit ani počítat malý interval, jen odhadneme sklon na P, jakmile to bude jasné z bodů, které jsme zkoušeli.
- V našem příkladu, když jsme přesunuli Q blíže k P, dostali jsme hodnoty 1,8, 1,9 a 1,96 pro H. Protože se tato čísla zdají být blížící se 2, můžeme říci, že 2 je dobrý odhad sklonu v P.
- Pamatujte, že sklon v daném bodě na přímce se rovná derivaci rovnice přímky v tomto bodě. Protože naše čára ukazuje posunutí našeho objektu v čase a, jak jsme viděli v sekci výše, okamžitá rychlost objektu je derivací jeho posunutí v daném bodě, můžeme také říci, že 2 metry za sekundu je dobrý odhad pro okamžitou rychlost při t = 1.
reklama

Část 3 ze 3: Ukázkové problémy

1 Najděte okamžitou rychlost při t = 4 vzhledem k rovnici posunutí s = 5t³- 3 t²+ 2t + 9. Je to stejné jako v našem příkladu v první části, kromě toho, že se zabýváme spíše kubickou rovnicí než kvadratickou rovnicí, takže ji můžeme vyřešit stejným způsobem.
- Nejprve vezmeme derivaci naší rovnice:
  
  s = 5 t³- 3 t²+ 2t + 9
  s = (3) 5t^{(3 - 1)}- (2) 3 str^{(dvacet jedna)}+ (1) 2 t^{(1 - 1) + (0) 9 t^0-1
  15 t⁽²⁾- 6t⁽¹⁾+ 2 t^{(0)
  15 t⁽²⁾- 6t + 2}}
  
  průvodce hmotností tenisové rakety
- Potom připojíme naši hodnotu pro t (4):
  
  s = 15 t⁽²⁾- 6t + 2
  15 odst.⁽²⁾- 6 (4) + 2
  15 (16) - 6 (4) + 2
  240 - 24 + 2 = 218 metrů za sekundu
2 Pomocí grafického odhadu najděte okamžitou rychlost na (1,3) pro rovnici posunutí s = 4t²- t. Pro tento problém použijeme (1,3) jako náš bod P, ale budeme muset najít několik dalších bodů v jeho blízkosti, které použijeme jako naše Q body. Pak už jen stačí najít naše hodnoty H a provést odhad.
- Nejprve najděme Q body v t = 2, 1,5, 1,1 a 1,01.
  
  s = 4 t²- t
  
  t = 2: s = 4 (2)²- (2)
  4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, takže Q = (2,14)
  
  t = 1,5: s = 4 (1,5)²- (1,5)
  4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, takže Q = (1,5,7,5)
  
  t = 1,1: s = 4 (1,1)²- (1.1)
  4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, takže Q = (1,1,3,74)
  
  t = 1,01: s = 4 (1,01)²- (1,01)
  4 (1.0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, takže Q = (1,01,3,0704)
- Dále získáme hodnoty H:
  
  Q = (2,14): H = (14-3)/(2-1)
  H = (11)/(1) = jedenáct
  
  Q = (1,5,7,5): H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
  H = (4,5)/(. 5) = 9
  
  Q = (1,1,3,74): H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
  H = (0,74)/(. 1) = 7.3
  
  Q = (1,01,3,0704): H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
  H = (0,0704)/(0,01) = 7.04
- Protože se zdá, že se naše hodnoty H velmi blíží 7, můžeme to říci 7 metrů za sekundu je dobrý odhad okamžité rychlosti na (1,3).
reklama

Komunitní otázky a odpovědi

Vyhledávání Přidat novou otázku

Otázka Jaký je rozdíl mezi okamžitou a průměrnou rychlostí? V tu chvíli je okamžitý, zatímco průměr je průměr celého časového rozpětí.
Otázka Jak vypočítám okamžité zrychlení? Okamžité zrychlení lze považovat za hodnotu derivace okamžité rychlosti. Například: s = 5 (t^3) - 3 (t^2) + 2t + 9 v = 15 (t^2) - 6t + 2 a = 30t - 6 Pokud chceme znát okamžité zrychlení při t = 4, pak a (4) = 30 * 4-6 = 114 m/(s^2)
Otázka Kdy je okamžitá rychlost a průměrná rychlost stejná? Okamžitá rychlost vám řekne rychlost objektu v jednom časovém okamžiku. Pokud se objekt pohybuje konstantní rychlostí, pak průměrná rychlost a okamžitá rychlost budou stejné. Ve všech situacích pravděpodobně nebudou stejné.

Nezodpovězené otázky

Jak mohu mezi dvěma časy najít nulovou rychlost? Odpovědět
Jak mohu mezi dvěma časy najít nulovou rychlost? Odpovědět
Jak vypočítám 5t + 12t^2? Odpovědět

Položit otázku Zbývá 200 znaků Zadejte svoji e -mailovou adresu, abyste dostali zprávu, když bude tato otázka zodpovězena. Předložit
reklama

Video . Při používání této služby mohou být některé informace sdíleny s YouTube.

Tipy

Chcete -li zjistit zrychlení (změnu rychlosti v čase), použijte metodu v části první a získejte derivační rovnici pro svoji funkci posunutí. Potom vezměte další derivaci, tentokrát vaší derivační rovnice. Získáte tak rovnici pro nalezení zrychlení v daném čase - vše, co musíte udělat, je připojit svou hodnotu pro čas.
Rovnice, která vztahuje Y (posunutí) k X (čas), může být opravdu jednoduchá, například Y = 6x + 3. V tomto případě je sklon konstantní a není nutné hledat derivaci, abychom našli sklon, což je podle základního modelu Y = mx + b pro lineární grafy, 6.
Posun je jako vzdálenost, ale má nastavený směr, takže posunutí je vektor a rychlost skalární. Posun může být záporný, zatímco vzdálenost bude pouze kladná.

Reklama Odeslat tip Všechna podání tipů jsou před zveřejněním pečlivě zkontrolována Děkujeme za zaslání tipu ke kontrole!